Question

4．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（$\sqrt{2}$，1），且以橢圓短軸的兩個端點(diǎn)和一個焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)M（x，y）是橢圓C上的動點(diǎn)，P（p，0）是x軸上的定點(diǎn)，求|MP|的最小值及取最小值時點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （I）由已知中以橢圓短軸的兩個端點(diǎn)和一個焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形．且橢圓C過點(diǎn)（$\sqrt{2}$，1），可得：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）根據(jù)M（x，y）是橢圓C上的動點(diǎn)，P（p，0）是x軸上的定點(diǎn)，求出|MP|的表達(dá)式，分類討論，可得|MP|的最小值及取最小值時點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）由題意，以橢圓短軸的兩個端點(diǎn)和一個焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，
所以 b=c，a²=2b²，則橢圓C的方程為$\frac{x^2}{{2{b^2}}}+\frac{y^2}{b^2}=1$．
又因為橢圓C：過點(diǎn)A（$\sqrt{2}$，1），
所以$\frac{2}{{2{b^2}}}+\frac{1}{b^2}=1$，
故a=2，b=.$\sqrt{2}$
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．--------------------------------------------------------4分
（Ⅱ）|MP|²=（x-p）²+y²．
因為 M（x，y）是橢圓C上的動點(diǎn)，
所以$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，
故 ${y^2}=2（1-\frac{x^2}{4}）=2-\frac{x^2}{2}$．
所以 ${|{MP}|^2}={（x-p）^2}+2-\frac{x^2}{2}=\frac{1}{2}{x^2}-2px+{p^2}+2=\frac{1}{2}{（x-2p）^2}-{p^2}+2$．
因為M（x，y）是橢圓C上的動點(diǎn)，
所以|x|≤2．
（1）若|2p|≤2，即|p|≤1，
則當(dāng)x=2p 時，|MP|取最小值$\sqrt{2-{p^2}}$，
此時M$（2p，±\sqrt{2-2{p^2}}）$．
（2）若p＞1，則當(dāng)x=2 時，|MP|取最小值|p-2|，此時M（2，0）．
（3）若p＜-1，則當(dāng)x=-2 時，|MP|取最小值|p+2|，此時M（-2，0）．-------13分

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．