Question

已知點(diǎn)A（3，0），B在x軸上，點(diǎn)M在直線x=1上移動，且

MA

•

MB

=0，動點(diǎn)C滿足

MC

=3

BC

，
（1）求點(diǎn)C的軌跡D的方程；
（2）若直線l：y=k（x-1）與曲線D有兩個不同的交點(diǎn)E、F，設(shè)P（-1，0），當(dāng)∠EPF為銳角時，求k，的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：計算題,平面向量及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)B（b，0），M（1，m），C（x，y），運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式，以及向量的運(yùn)算，解出b，m，再代入即可得到軌跡方程；
（2）聯(lián)立直線方程和曲線方程，消去y，得到二次方程，解出交點(diǎn)E，F(xiàn)，求出向量PE，PF的坐標(biāo)，由于∠EPF為銳角?

PE

•

PF

＞0且

PE

，

PF

不共線，列出不等式，解出即可得到k的范圍．

解答： 解：（1）設(shè)B（b，0），M（1，m），C（x，y），
則由

MA

•

MB

=0，得（3-1，-m）•（b-1，-m）=0，
即有2（b-1）+m²=0，
又

MC

=3

BC

，則有，x-1=3（x-b），且y-m=3y，即為b=

2x+1

3

，m=-2y，
代入上式，得，2（

2x+1

3

-1）+4y²=0，
化簡即得，點(diǎn)C的軌跡D的方程是y²=

1-x

3

；
（2）設(shè)交點(diǎn)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
由y=k（x-1）和y²=

1-x

3

，聯(lián)立方程，消去y，得，3k²x²-（6k²-1）x+3k²-1=0，
解得x₁=1，x₂=1-

1

3k2

，則y₁=0，y₂=-

1

3k

，
∠EPF為銳角?

PE

•

PF

＞0且

PE

，

PF

不共線，
即有（2，0）•（2-

1

3k2

，-

1

3k

）＞0且-

2

3k

≠0，
即2-

1

3k2

＞0，解得，k＞

6

6

或k＜-

6

6

．

點(diǎn)評：本題考查軌跡方程的求法：代入法，考查直線方程和曲線方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，求出交點(diǎn)，考查向量數(shù)量積的運(yùn)用解決角的問題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．