Question

6．已知S_n為等差數(shù)列{a_n}的前n項和，a₅=2，a_n-1+a_n+1=a₅a_n（n≥2）且a₃是a₁與-$\frac{8}{5}$的等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若a₁為整數(shù)，b_n=$\frac{n}{（2{S}_{n}+23n）（n+1）}$，求數(shù)列{b_n}前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)a₅=2，a_n-1+a_n+1=a₅a_n（n≥2）且a₃是a₁與-$\frac{8}{5}$的等比中項得到首項和公差，得到通項公式．
（2）由（1）得到S_n，整理數(shù)列{b_n}，利用通項公式特點，利用裂項求和即可．

解答 解：（1）∵a₅=2，a_n-1+a_n+1=a₅a_n（n≥2），
∴a_n-1+a_n+1=2a_n（n≥2）∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．
設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d．∵a₃是a₁與-$\frac{8}{5}$的等比中項，∴a₃²=a₁•-$\frac{8}{5}$．
∴（2-2d）²=-$\frac{8}{5}$（2-4d）
∴（5d-3）（d-3）=0
∴d=$\frac{3}{5}$或d=3．
當(dāng)d=$\frac{3}{5}$時，a_n=$\frac{3}{5}n$-1．
當(dāng)d=3時，a_n=3n-13．
（2）若a₁為整數(shù)，則a_n=3n-13，
∴${S}_{n}=\frac{n（3n-23）}{2}$，
∴2S_n+23n=3n²，
b_n=$\frac{n}{（2{S}_{n}+23n）（n+1）}$=$\frac{1}{3n（n+1）}=\frac{1}{3}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
數(shù)列{b_n}前n項和T_n=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$$+\frac{1}{3}-$…$+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{3}×$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{3n+3}$．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式以及利用公式法和裂項對數(shù)列求和；關(guān)鍵是正確利用等差中項和等比中項求出數(shù)列的通項公式．