Question

已知直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，若A（0，-1）、B（8，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)都在二次函數(shù)f（x）=ax²的圖象C上，求直線l的方程與二次函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先設(shè)出直線l的方程，根據(jù)A′、B′分別是A、B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)，進(jìn)而可知A′A⊥l，進(jìn)而可得直線A′A的方程，把兩直線方程聯(lián)立求得交點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)M為AA′的中點(diǎn)，求得A′點(diǎn)的坐標(biāo)和B′的坐標(biāo)，分別代入拋物線方程求得方程組，最后聯(lián)立求得k，進(jìn)而求a，則直線和拋物線的方程可得．

解答： 解：設(shè)直線l為y=kx（k≠0）①，
設(shè)A′、B′分別是A、B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)，因而A′A⊥l，直線A′A的方程為y=-

1

k

x-1②
由①、②聯(lián)立解得AA′與l的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-

k

k2+1

，-

k2

k2+1

）；
又M為A′A的中點(diǎn)，則A′（-

2k

k2+1

，-

k2-1

k2+1

）；
同理B′（

16k

k2+1

，-

8(k2-1)

k2+1

）；
又A′，B′均在拋物線f（x）=ax²上得，

1-k2= 4ak2 k2+1 k=4a (1-k2)2 1+k2

；
故

1-k2

k

=

k2

(1-k2)2

；
故k²+k-1=0；
故k=

-1± 5

2

，
當(dāng)k=

-1- 5

2

時(shí)，a=-

5

2

；
故y=

-1- 5

2

x，f（x）=-

5

2

x²；
當(dāng)k=

-1+ 5

2

時(shí)，a=

5

2

；
故y=

-1+ 5

2

x，f（x）=

5

2

x²．

點(diǎn)評(píng)：本小題考查直線與拋物線的基本概念和性質(zhì)，解析幾何的基本思想方法以及綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．