Question

在△ABC中，內角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，向量

m

=(a-bcosC， c)與

n

=(sinB， 1)平行． 
（Ⅰ）求角B的值； 
（Ⅱ）若b=

2

，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：解三角形

分析：（I）利用向量共線定理、誘導公式、兩角和差的正弦余弦公式即可得出；
（II）利用余弦定理、基本不等式的性質、三角形的面積計算公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

∥

n

，
∴（a-bcosC）×1=c×sinB，
∴a=csinB+bcosC，
∴sinA=sinCsinB+sinBcosC，
∴sin[π-（B+C）]=sinCsinB+sinBcosC，
∴sin（B+C）=sinCsinB+sinBcosC，
∴sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，
∴cosBsinC=sinCsinB，
∵C∈（0，π），
∴sinC≠0，
∴cosB=sinB即tanB=1，又B∈（0，π），
∴B=

π

4

，
（Ⅱ）由余弦定理得到：b²=a²+c²-2accosB，即2=a2+c2-

2

ac，
∴2+

2

ac=a2+c2≥2ac，即ac≤

2

2- 2

=2+

2

，
當且僅當a=c即a=c=

2+ 2

時取“=”，
S△ABC=

1

2

acsinB=

2

4

ac≤

2

4

×(2+

2

)=

1+ 2

2

，
故△ABC面積的最大值為

1+ 2

2

．

點評：本題考查了向量共線定理、誘導公式、兩角和差的正弦余弦公式、余弦定理、基本不等式的性質、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．