Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

（1）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若不等式在區(qū)間（）上的解集為非空集合，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】

（1）先求定義域，再求導(dǎo)，對(duì)a進(jìn)行分類討論，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出單調(diào)區(qū)間. （2）由題意可得在上存在使 成立，即求的最小值小于等于，對(duì)a進(jìn)行分類討論，求出的最值，即可解出a的范圍.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

①當(dāng)，即時(shí)，

∵，

∴，在上單調(diào)遞增，

②當(dāng)，即時(shí)，可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

此時(shí)的最小值為

若，即時(shí)，恒大于0，此時(shí)函數(shù)沒有零點(diǎn)；

若，即時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；

若，即時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以只需要，

即，顯然成立，

∴；

當(dāng),即時(shí)，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)需要，

即，不等式無(wú)解；

當(dāng)，即時(shí)，

在上單調(diào)遞增，所以只需要，

即，顯然成立，

∴；

當(dāng)，即時(shí)，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

此時(shí)只需，解得.

綜上可知實(shí)數(shù)的取值范圍為.