Question

各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知點(diǎn)（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數(shù)y=3x的圖象上，且S₃=26．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）在a_n與a_n+1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成公差為d_n的等差數(shù)列，求數(shù)列{

1

dn

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得a_n+1=3a_n，從而

a1(1-33)

1-3

=26，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由a_n=2×3^n-1，a_n+1=2×3ⁿ，得d_n=

4×3n-1

n+1

，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{

1

dn

}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵點(diǎn)（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數(shù)y=3x的圖象上，
∴a_n+1=3a_n，
∵各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₃=26，
∴

a1(1-33)

1-3

=26，解得a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2•3^n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2×3^n-1，a_n+1=2×3ⁿ，
∵a_n+1=a_n+（n+1）d_n，
∴d_n=

4×3n-1

n+1

，
∴T_n=

1

d1

+

1

d2

+…+

1

dn

=

2

4×30

+

3

4×3

+

4

4×32

+…+

n+1

4×3n-1

，①

1

3

Tn=

2

4×3

+

3

4×32

+

4

4×33

+…+

n+1

4×3n

，②
①-②，得：

2

3

Tn=

2

4×30

+

1

4×3

+

1

4×32

+

1

4×33

+…+

1

4×3n-1

-

n+1

4×3n

=

1

2

+

1

4

×

1 3 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

n+1

4×3n

=

5

8

-

2n+5

8×3n

，
∴T_n=

15

16

-

3(2n+5)

16×3n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算和等比數(shù)列的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．