Question

3．如圖，在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2DC=2，E為BC邊上一點，$\overrightarrow{BC}$=3$\overrightarrow{EC}$，F為線段AE的中點，則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$=$-\frac{14}{9}$．

Answer 1

分析 取AB的中點G，連接DG，CG，利用向量相等將$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{BF}$分別用向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$表示，然后進行向量的乘法運算即可．

解答 解：取AB的中點G，連接DG，CG，如圖
則DG∥BC，所以$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，
所以$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}（\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}）$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$，
所以$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}（\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}）-\overrightarrow{AB}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$，
所以$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BF}=\frac{2}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）•（-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$$）=-\frac{4}{9}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{2}{9}{\overrightarrow{AD}}^{2}$=$-\frac{4}{9}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{2}{9}{\overrightarrow{AD}}^{2}$=$-\frac{4}{9}×{2}^{2}+\frac{2}{9}×{1}^{2}=-\frac{14}{9}$；
故答案為：$-\frac{14}{9}$．

點評 本題考查了平面向量的三角形法則以及向量的乘法運算，關鍵是將所求分別用向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$表示出來，再進行運算．