Question

19．已知曲線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{FP}$+2$\overrightarrow{FQ}$=$\overrightarrow 0$，則△OPQ的面積等于（　　）

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $3\sqrt{2}$
• C． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$

Answer 1

分析 設(shè)過點(diǎn)F的直線l的方程為x=my+1代入y²=4x得y²-4my-4=0，利用韋達(dá)定理結(jié)合且$\overrightarrow{FP}$+2$\overrightarrow{FQ}$=$\overrightarrow 0$，求出m²=$\frac{1}{8}$，利用S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|，由此能求出△OPQ的面積．

解答 解：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|．
設(shè)過點(diǎn)F的直線l的方程為x=my+1代入y²=4x得y²-4my-4=0，∴y₁+y₂=4m①，y₁y₂=-4②，
∵$\overrightarrow{FP}$+2$\overrightarrow{FQ}$=$\overrightarrow 0$，
∴（x₁-1，y₁）+2（x₂-1，y₂）=（0，0），
∴y₁+2y₂=0③
聯(lián)立①②③可得m²=$\frac{1}{8}$
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{16×\frac{1}{8}+16}$=3$\sqrt{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的性質(zhì)和應(yīng)用，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，解題時(shí)確定m²=$\frac{1}{8}$，利用S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|是關(guān)鍵．