Question

【題目】如圖，四邊形是矩形，，是的中點，與交于點，平面.

（Ⅰ）求證：面；

（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）要證AF與平面BEG垂直，只要證AF與平面內兩條相交直線垂直，由已知GF垂直于底面ABCD，有GF垂直AF，另外可以在矩形BACD中證明BE垂直于AC（可用相似三角形證明角相等）；（Ⅱ）求直線EG與平面所成角的正弦，可用體積法求出E到平面ABG的距離d，則就是所求正弦值，而求棱錐的體積可通過來求得．

試題解析：證法1：

∵四邊形為矩形，∴∽，∴

又∵矩形中，，∴

在中， ∴，

在中，

∴，即

∵平面，平面 ∴

又∵，平面 ∴平面

證法2：（坐標法）證明，得，往下同證法1．

證法3：（向量法）以為基底， ∵，

∴

∴，往下同證法1．

（2）在中，

在中，

在中，，

∴

設點到平面的距離為，則

，∴

設直線與平面所成角的大小為，則

另法：由（1）得兩兩垂直,以點為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

，，

，

設是平面的法向量，則

，即，取，得

設直線與平面所成角的大小為，則

∴直線與平面所成角的正弦值為