Question

15．已知正方形ABCD 的邊長為2，E為BC的中點，則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=2．

Answer 1

分析 根據(jù)兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，可得要求的式子為（ $\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$）•（ $\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$），再根據(jù)兩個向量垂直的性質(zhì)，運算求得結(jié)果．

解答 解：∵已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，則 $\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=0，
故 $\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=（ $\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$）•（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AD}$）=（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）
=$\overrightarrow{AD}$²-$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²=4+0-0-$\frac{1}{2}$×4=2，
故答案為 2．

點評 本題主要考查兩個向量的加減法的法則，向量的數(shù)量積的運算，兩個向量垂直的性質(zhì)，屬于中檔題．