Question

5．若對于?x∈（0，+∞），關于x的不等式lnx-ax+2≤0恒成立，則實數a的取值范圍是[e，+∞）．

Answer 1

分析 問題轉化為a≥$\frac{2+lnx}{x}$在（0，+∞）恒成立，令h（x）=$\frac{2+lnx}{x}$，根據函數的單調性，求出a的范圍即可．

解答 解：對于?x∈（0，+∞），關于x的不等式lnx-ax+2≤0恒成立，
即a≥$\frac{2+lnx}{x}$在（0，+∞）恒成立，
令h（x）=$\frac{2+lnx}{x}$，h′（x）=$\frac{-1-lnx}{{x}^{2}}$，
令h′（x）＞0，解得：x＜$\frac{1}{e}$，令h′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，
∴h（x）在（0，$\frac{1}{e}$）遞增，在（$\frac{1}{e}$，+∞）遞減，
h（x）≤h（$\frac{1}{e}$）=e，
∴a≥e，
故答案為：[e，+∞）．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．