Question

3．己知函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a＞0）
（1）?x∈R，函數(shù)f（$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}+1}$）有最大值1，求函數(shù)f（$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}+1}$）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知?x₀∈R，使|f（x₀）|≤$\frac{1}{a}$與|f（x₀+$\frac{2}{a}$）|≤$\frac{1}{a}$同時(shí)成立，求b²-4a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱軸和區(qū)間（2，3]的關(guān)系，可得最大值9a+3b+1，求得b=-3a，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求單調(diào)區(qū)間；
（2）求出二次函數(shù)的最值，考察f（x）=ax²+h，當(dāng)h=0，-$\frac{1}{a}$時(shí)，有|f（-$\frac{1}{a}$）|≤$\frac{1}{a}$，|f（-$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{a}$）|≤$\frac{1}{a}$同時(shí)成立，令-$\frac{1}{a}$≤$\frac{4a-^{2}}{4a}$≤0，解不等式即可得到．

解答 解：（1）令t=$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}+1}$=2+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$∈（2，3]，
由y=f（t）在（2，3]有最大值1，
可得f（3）取得最大值，可得9a+3b+1=0，
即b=-3a，二次函數(shù)f（x）=ax²-3ax+1，a＞0，
即有f（x）的對(duì)稱軸為x=$\frac{3}{2}$，區(qū)間（2，3]為增區(qū)間成立．
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減，可得
函數(shù)f（$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}+1}$）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞），無(wú)增區(qū)間；
（2）由f（x）=a（x+$\frac{2a}$）²+$\frac{4a-^{2}}{4a}$，
考察f（x）=ax²+h，當(dāng)h=0時(shí)，
有|f（-$\frac{1}{a}$）|≤$\frac{1}{a}$，|f（-$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{a}$）|≤$\frac{1}{a}$同時(shí)成立；
當(dāng)h=-$\frac{1}{a}$時(shí)，有|f（-$\frac{1}{a}$）|≤$\frac{1}{a}$，|f（-$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{a}$）|≤$\frac{1}{a}$同時(shí)成立．
所以-$\frac{1}{a}$≤h≤0即-$\frac{1}{a}$≤$\frac{4a-^{2}}{4a}$≤0，
由a＞0，可得-1≤4a-b²≤0，
則b²-4a的取值范圍是[0，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，主要考查二次函數(shù)的單調(diào)性和最值，同時(shí)考查二次不等式的解法，屬于難題．