Question

16．已知向量$\overrightarrow m$=（cosx，-1），$\overrightarrow n$=（$\sqrt{3}$sinx，-$\frac{1}{2}$）．
（1）當(dāng)$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$時(shí)，求$\frac{{\sqrt{3}sinx+cosx}}{{sinx-\sqrt{3}cosx}}$的值；
（2）已知在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，$\sqrt{3}$c=2asin（A+B），函數(shù)f（x）=（$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$）•$\overrightarrow{m}$，求f（B）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量平行得出tanx，將式子分子分母同除以cosx得出結(jié)果；
（2）根據(jù)正弦定理得出A，求出B的范圍，代入f（B），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出f（B）的范圍．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$，∴$\frac{1}{2}$cosx-$\sqrt{3}$sinx=0，∴tanx=$\frac{sinx}{cosx}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴$\frac{{\sqrt{3}sinx+cosx}}{{sinx-\sqrt{3}cosx}}$=$\frac{\sqrt{3}tanx+1}{tanx-\sqrt{3}}$=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
（2）∵$\sqrt{3}$c=2asin（A+B）=2asinC，∴$\frac{c}{sinC}$=$\frac{2a}{\sqrt{3}}$，
又$\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}$，∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵△ABC是銳角三角形，∴A=60°，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0°＜B＜90°}\\{0°＜120°-B＜90°}\end{array}\right.$，解得30°＜B＜90°，
∵f（x）=（$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$）•$\overrightarrow{m}$=${\overrightarrow{m}}^{2}$+$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=cos²x+1+$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+2=sin（2x+30°）+2，
∴f（B）=sin（2B+30°）+2，
∵30°＜B＜90°，∴90°＜2B+30°＜210°，
∴f（B）＜f（90°）=3，f（B）＞f（210°）=$\frac{3}{2}$．
∴f（B）的取值范圍是（$\frac{3}{2}$，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量平行與坐標(biāo)的關(guān)系，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，屬于中檔題．