Question

9．若存在實(shí)數(shù)a、b使得直線(xiàn)ax+by=1與線(xiàn)段AB（其中A（1，0），B（2，1））只有一個(gè)公共點(diǎn)，且不等式$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{p}{co{s}^{2}θ}$≥20（a²+b²）對(duì)于任意θ∈（0，$\frac{π}{2}$）成立，則正實(shí)數(shù)p的取值范圍為[1，+∞）．

Answer 1

分析 直線(xiàn)ax+by=1與線(xiàn)段AB有一個(gè)公共點(diǎn)，可知：點(diǎn)A（1，0），B（2，1）在直線(xiàn)ax+by=1的兩側(cè)，因此（a-1）（2a+b-1）≤0．畫(huà)出它們表示的平面區(qū)域，如圖所示．由圖可知，當(dāng)原點(diǎn)O到直線(xiàn)2x+y-1=0的距離為原點(diǎn)到區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的距離的最小值，可得d_min=$\frac{1}{\sqrt{5}}$．由于存在實(shí)數(shù)a、b使得不等式$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{p}{co{s}^{2}θ}$≥20（a²+b²）對(duì)于任意θ∈（0，$\frac{π}{2}$）成立，可得$（\frac{1}{si{n}^{2}θ}+\frac{p}{co{s}^{2}θ}）_{min}$≥20（a²+b²）_min=4，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出答案．

解答 解：∵直線(xiàn)ax+by=1與線(xiàn)段AB有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴點(diǎn)A（1，0），B（2，1）在直線(xiàn)ax+by=1的兩側(cè)，
∴（a-1）（2a+b-1）≤0，
即 $\left\{\begin{array}{l}{a-1≤0}\\{2a+b-1≥0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a-1≥0}\\{2a+b-1≤0}\end{array}\right.$；
畫(huà)出它們表示的平面區(qū)域，如圖所示．
a²+b²表示原點(diǎn)到區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的距離的平方，
由圖可知，當(dāng)原點(diǎn)O到直線(xiàn)2x+y-1=0的距離為原點(diǎn)到區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的距離的最小值，
∵d_min=$\frac{1}{\sqrt{5}}$
那么a²+b²的最小值為：d²=$\frac{1}{5}$．
由于存在實(shí)數(shù)a、b使得不等式$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{p}{co{s}^{2}θ}$≥20（a²+b²）對(duì)于任意θ∈（0，$\frac{π}{2}$）成立，
∴$（\frac{1}{si{n}^{2}θ}+\frac{p}{co{s}^{2}θ}）_{min}$≥20（a²+b²）_min=4，
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴sinθ，cosθ∈（0，1）．
∴$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{p}{co{s}^{2}θ}$=（sin²θ+cos²θ）$（\frac{1}{si{n}^{2}θ}+\frac{p}{co{s}^{2}θ}）$=1+p+$\frac{co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{psi{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ}$≥1+p+2$\sqrt{\frac{co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ}•\frac{psi{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ}}$=1+p+2$\sqrt{p}$，
當(dāng)且僅當(dāng)tan²θ=$\frac{1}{\sqrt{p}}$時(shí)取等號(hào)．
∴1+p+2$\sqrt{p}$≥4，p＞0，解得1≤p．
∴tanθ=1，即$θ=\frac{π}{4}$時(shí)取等號(hào)．
故答案為：[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)圖象與性質(zhì)、線(xiàn)性規(guī)劃有關(guān)知識(shí)、三角函數(shù)基本關(guān)系式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．