Question

19．已知圓x²+y²-2x+4y+1=0關(guān)于直線2ax-by-2=0（a＞0，b＞0）對稱，則$\frac{9}{a}$+$\frac{1}$的最小值是16．

Answer 1

分析 由圓的方程求出圓心坐標(biāo)，由題意將圓心坐標(biāo)代入直線方程化簡，由“1”的代換和基本不等式求出答案．

解答 解：圓x²+y²-2x+4y+1=0的圓心坐標(biāo)是（1，-2），
∵此圓關(guān)于直線2ax-by-2=0（a＞0，b＞0）對稱，
∴直線過圓心，則2a+2b-2=0，即a+b=1，
∴$\frac{9}{a}+\frac{1}$=（a+b）（$\frac{9}{a}+\frac{1}$）=10+$\frac{a}+\frac{9b}{a}$≥10+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{9b}{a}}$=16，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}=\frac{9b}{a}$時取等號，
∴$\frac{a}+\frac{9b}{a}$的最小值是16，
故答案為：16．

點評 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，“1”的代換，基本不等式求最值問題，考查化簡、變形能力．