Question

11．若球O的球面上共有三點(diǎn)A、B、C，其中任意兩點(diǎn)間的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的$\frac{1}{6}$，經(jīng)過(guò)A、B、C這三點(diǎn)的小圓周長(zhǎng)為4$\sqrt{3}$π，則球O的體積為288π．

Answer 1

分析 由條件：“經(jīng)過(guò)A、B、C這三點(diǎn)的小圓周長(zhǎng)為4$\sqrt{3}$π，”得出正三角形ABC的外接圓半徑r=2$\sqrt{3}$，再結(jié)合球的性質(zhì)知：三角形ABC的外接圓半徑r、球的半徑、球心與三角形ABC的外接圓的圓心的連線(xiàn)構(gòu)成直角三角形，再利用直角三角形的勾股定理，解出球半徑R，即可求出球O的體積．

解答 解：因?yàn)檎�三角形ABC的外徑r=2$\sqrt{3}$，故高AD=3$\sqrt{3}$，D是BC的中點(diǎn)．
在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=$\frac{π}{3}$，所以BC=BO=R，BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$R．
在Rt△ABD中，AB=BC=R，所以由AB²=BD²+AD²，得R²=$\frac{1}{4}$R²+27，所以R=6
則球O的體積為：V=$\frac{4}{3}π•{6}^{3}$=288π．
故答案為：288π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查學(xué)生的空間想象能力，以及對(duì)球的性質(zhì)認(rèn)識(shí)及利用，是中檔題．此類(lèi)題的解法是：充分利用圖形的特點(diǎn)構(gòu)造三角形，根據(jù)球的性質(zhì)結(jié)合解三角形解決問(wèn)題．