Question

10．已知函數f（x）=|x-4|，g（x）=a|x|，a∈R．
（Ⅰ）當a=2時，解關于x的不等式f（x）＞2g（x）+1；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）-4對任意x∈R恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=2時，不等式f（x）＞2g（x）+1為|x-4|＞4|x|+1，分類討論求得x的范圍．
（2）由題意可得|x-4|≥a|x|-4對任意x∈R恒成立．當x=0時，不等式顯然成立；當x≠0時，問題等價于a≤$\frac{|x-4|+4}{|x|}$對任意非零實數恒成立，再利用絕對值三角不等式求得a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）當a=2時，不等式f（x）＞2g（x）+1為|x-4|＞4|x|+1，
x＜0，不等式化為4-x＞-4x+1，解得x＞-1，∴-1＜x＜0；
0≤x≤4，不等式化為4-x＞4x+1，解得x＜$\frac{3}{5}$，∴0≤x＜$\frac{3}{5}$；
x＞4，不等式化為x-4＞4x+1，解得x＜-$\frac{5}{3}$，無解；
綜上所述，不等式的解集為{x|-1＜x＜$\frac{3}{5}$}；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）-4對任意x∈R恒成立，即|x-4|≥a|x|-4對任意x∈R恒成立，
當x=0時，不等式|x-4|≥a|x|-4恒成立；
當x≠0時，問題等價于a≤$\frac{|x-4|+4}{|x|}$對任意非零實數恒成立．
∵$\frac{|x-4|+4}{|x|}$≥$\frac{|x-4+4|}{|x|}$=1，∴a≤1，即a的取值范圍是（-∞，1]．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，函數的恒成立問題，體現了轉化、分類討論的數學思想，屬于中檔題．