Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O相切于點(diǎn)A，且AC=AB，CO與⊙O相交于點(diǎn)P，CO的延長線與⊙O相交于點(diǎn)F，BP的延長線與AC相交于點(diǎn)E．
（1）求證：

AP

PC

=

FA

AB

；
（2）設(shè)AB=2，求tan∠CPE的值．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：立體幾何

分析：（1）由弦切角定理得∠PAC=∠PFA，從而△APC∽△FAC，由此能證明

AP

PC

=

FA

AB

．
（2）由AB是⊙O的直徑，得AO=1，AC=2，由AC與⊙O相切于點(diǎn)A，得AB⊥AC，由此能求出tan∠CPE．

解答： （1）證明：∵AC與⊙O相切于點(diǎn)A，∴∠PAC=∠PFA，
又∠C=∠C，∴△APC∽△FAC，
∴

AP

FA

=

PC

AC

，
又AB=AC，∴

AP

PC

=

FA

AB

．
（2）解：∵AB是⊙O的直徑，AB=AC，AB=2，
∴AO=

1

2

AB=1，AC=2，
∵AC與⊙O相切于點(diǎn)A，∴AB⊥AC，
∴△AOC中，∠CAO=90°，OA=1，AC=2，
∴tan∠CPE=tan∠CAO=

OA

AC

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查

AP

PC

=

FA

AB

的證明，考查角的正切值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，涉及到弦切角定理、三角形相似、圓的簡單性質(zhì)的合理運(yùn)用．