Question

如圖，在四棱錐P—ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，M為PC的中點(diǎn).

（1）求證：PA//平面BDM；

（2）求直線AC與平面ADM所成角的正弦值.

 

 

Answer 1

（1）見(jiàn)解析      (2)

【解析】證明：連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)O,連結(jié)MO

因?yàn)镸O是的中位線，

所以MO∥PA

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719510175758523/SYS201411171951032888102571_DA/SYS201411171951032888102571_DA.003.png">面PAD中，

所以MO∥面PAD（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719510175758523/SYS201411171951032888102571_DA/SYS201411171951032888102571_DA.004.png">，點(diǎn)M到面ADC的距離，

所以。

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719510175758523/SYS201411171951032888102571_DA/SYS201411171951032888102571_DA.007.png">為等腰三角形，且M為PC的中點(diǎn),所以。

取PB的中點(diǎn)E,AD的中點(diǎn)N，連結(jié)ME,PN,NE,BN

因?yàn)樗倪呅蜠MEN為平行四邊形

所以DM∥NE     又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719510175758523/SYS201411171951032888102571_DA/SYS201411171951032888102571_DA.009.png">為等腰三角形，所以

所以.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719510175758523/SYS201411171951032888102571_DA/SYS201411171951032888102571_DA.008.png">，且

所以面.

所以。

因?yàn)锽C∥AD

所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719510175758523/SYS201411171951032888102571_DA/SYS201411171951032888102571_DA.017.png">

所以

所以

所以

所以．