Question

7．已知實數x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{x+y≤4}\\{2x+y-3≥0}\end{array}\right.$，則Z=y-（$\frac{1}{2}$）^x的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，$-lo{g}_{2}ln2-\frac{1}{ln2}+4$]．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標函數Z=y-（$\frac{1}{2}$）^x為$y=（\frac{1}{2}）^{x}+Z$，求出曲線$y=（\frac{1}{2}）^{x}+Z$過A點時的Z值，再由導數求出曲線與直線x+y=4相切時的Z值，則答案可求．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{x+y≤4}\\{2x+y-3≥0}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{2x+y-3=0}\end{array}\right.$，解得A（1，1），
由Z=y-（$\frac{1}{2}$）^x，得$y=（\frac{1}{2}）^{x}+Z$，
把A（1，1）代入$y=（\frac{1}{2}）^{x}+Z$，得Z=$\frac{1}{2}$；
由$y=（\frac{1}{2}）^{x}+Z$，得y′=-ln2$•（\frac{1}{2}）^{x}$，
設直線y=-x+4與$y=（\frac{1}{2}）^{x}+Z$的切點為（x₀，y₀），
則$-ln2•（\frac{1}{2}）^{{x}_{0}}=-1$，解得x₀=log₂ln2，
∴y₀=-log₂ln2+4，
∴Z=$-lo{g}_{2}ln2+4-（\frac{1}{2}）^{lo{g}_{2}ln2}$=$-lo{g}_{2}ln2-\frac{1}{ln2}+4$．
∴Z=y-（$\frac{1}{2}$）^x的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，$-lo{g}_{2}ln2-\frac{1}{ln2}+4$]．
故答案為：[$\frac{1}{2}$，$-lo{g}_{2}ln2-\frac{1}{ln2}+4$]．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數形結合的解題思想方法和數學轉化思想方法，訓練了利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，屬難題．