Question

15．已知點(diǎn)P是橢圓16x²+25y²=1600上一點(diǎn)，且在x軸上方，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的左，右焦點(diǎn)，直線PF₂的斜率為$-4\sqrt{3}$．
（1）求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求△PF₁F₂的面積．

Answer 1

分析 （1）將橢圓轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程：由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，a=10，b=8，c=$\sqrt{100-64}$=6，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₀，y₀），代入橢圓方程，由直線的斜率公式可知：$\left\{\begin{array}{l}{16{x}_{0}^{2}+25{y}_{0}^{2}=1600}\\{\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-6}=-4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由△PF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}$丨F₁F₂丨•丨y₀丨，將丨F₁F₂丨=12，代入即可求得△PF₁F₂的面積．

解答 解：（1）由橢圓16x²+25y²=1600，轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{64}=1$，則橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，
a=10，b=8，c=$\sqrt{100-64}$=6，
∴橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：F₁（-6，0），F(xiàn)₂（6，0），焦距丨F₁F₂丨=12，
設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
由P點(diǎn)在橢圓上，且直線PF₂的斜率為$-4\sqrt{3}$．
則$\left\{\begin{array}{l}{16{x}_{0}^{2}+25{y}_{0}^{2}=1600}\\{\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-6}=-4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，（4分）
消去y₀，得16${x}_{0}^{2}$+25[-4$\sqrt{3}$（x₀-6）]²=1600，
整理得：16×76${x}_{0}^{2}$-48×12×25x₀+25×48×36-1600=0，
化簡(jiǎn)得 19${x}_{0}^{2}$-225x₀+650=0，（6分）
解得：x₀=5或x₀=$\frac{130}{19}$，（8分）
當(dāng)x₀=$\frac{130}{19}$時(shí)，y₀＜0故舍去
把x₀=5，代$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-6}$=-4$\sqrt{3}$入，解得：y₀=4$\sqrt{3}$，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，4$\sqrt{3}$），（10分）
（2）△PF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}$丨F₁F₂丨•丨y₀丨=$\frac{1}{2}$×12×4$\sqrt{3}$=24$\sqrt{3}$，
△PF₁F₂的面積24$\sqrt{3}$．（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線的斜率公式，考查三角形面積公式的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．