Question

14．已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足：a₁=$\frac{1}{4}$，a_n+b_n=1，b_n+1=$\frac{_{n}}{1{-a}_{n}^{2}}$．
（1）求證數(shù)列{$\frac{1}{_{n}-1}$}是等差數(shù)列；
（2）若c_n=$\frac{{a}_{n}{-a}_{n}^{2}}{{2}^{n}（1-2{a}_{n}）（1-3{a}_{n}）}$，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n≥$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a_n=1-b_n，代入條件，化簡變形，可得b_n+1-1=$\frac{_{n}-1}{2-_{n}}$，再取倒數(shù)，由等差數(shù)列的定義，即可得證；
（2）運用等差數(shù)列的通項公式，求得a_n=$\frac{1}{n+3}$，代入可得c_n=$\frac{n+2}{{2}^{n}（n+1）n}$，計算c₁，由c_n＞0，即可得證．

解答 證明：（1）a₁=$\frac{1}{4}$，a_n+b_n=1，
可得a_n=1-b_n，b₁=$\frac{3}{4}$，
即有b_n+1=$\frac{_{n}}{1{-a}_{n}^{2}}$=$\frac{_{n}}{1-（1-2_{n}+{_{n}}^{2}）}$=$\frac{1}{2-_{n}}$，
即b_n+1-1=$\frac{_{n}-1}{2-_{n}}$，
則$\frac{1}{_{n+1}-1}$=$\frac{1}{_{n}-1}$-1，
即有數(shù)列{$\frac{1}{_{n}-1}$}是首項為$\frac{1}{_{1}-1}$=-4，公差為-1的等差數(shù)列；
（2）由（1）可得$\frac{1}{_{n}-1}$=-4-（n-1）=-3-n，
由于a_n=1-b_n，可得a_n=$\frac{1}{n+3}$，
c_n=$\frac{{a}_{n}{-a}_{n}^{2}}{{2}^{n}（1-2{a}_{n}）（1-3{a}_{n}）}$=$\frac{\frac{1}{n+3}-\frac{1}{（n+3）^{2}}}{{2}^{n}（1-\frac{2}{n+3}）（1-\frac{3}{n+3}）}$
=$\frac{n+2}{{2}^{n}（n+1）n}$，
當(dāng)n=1時，c₁=$\frac{3}{4}$，且c_n＞0，
則前n項和S_n≥c₁=$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項和求和，注意運用構(gòu)造數(shù)列的方法，考查等差數(shù)列的定義和通項公式的運用，屬于中檔題．