Question

9．已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上且周期為4的奇函數(shù)，若-2＜x≤-1時(shí)，f（x）=2cos$\frac{π}{2}$x+1，求當(dāng)2≤x≤3時(shí)，函數(shù)y=f（x）的解析式．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，先由函數(shù)周期性分析可得當(dāng)2＜x≤3時(shí)，有-2＜x-4≤-1，則有f（x）=f（x-4）=2cos[$\frac{π}{2}$（x-4）]+1，進(jìn)而利用周期性與奇偶性可得f（2）=0，綜合兩種情況即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，-2＜x≤-1時(shí)，f（x）=2cos$\frac{π}{2}$x+1，
則當(dāng)2＜x≤3時(shí)，有-2＜x-4≤-1，則有f（x）=f（x-4）=2cos[$\frac{π}{2}$（x-4）]+1，
又由函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，則f（-2）=-f（2），
函數(shù)y=f（x）周期為4，則f（-2）=f（2），
故f（2）=0，
則當(dāng)2≤x≤3時(shí)，函數(shù)y=f（x）的解析式為y=$\left\{\begin{array}{l}{0，x=2}\\{2cos[\frac{π}{2}（x-4）]+1，2＜x≤3}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)周期性與奇偶性的運(yùn)用，注意求出x=-2時(shí)函數(shù)的函數(shù)值，這是本題的易錯(cuò)點(diǎn)．