Question

用余弦定理證明，平行四邊形兩條對(duì)角線平方的和等于四條邊平方的和．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理

專題：解三角形

分析：先畫出平行四邊形ABCD，設(shè)AB=a、AD=b，∠DAB=θ，利用余弦定理求出BD²和AC²，再由平行四邊形的性質(zhì)和誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)后，再化簡(jiǎn)AC²+BD²即可．

解答： 解：如圖：平行四邊形ABCD，設(shè)AB=a、AD=b，∠DAB=θ，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，
所以CD=AB=a，BC=AD=b，∠ADC=180°-θ，
在△ABD中，由余弦定理得，
BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos∠DAB
=a²+b²-2abcosθ，
在△ABD中，由余弦定理得，
AC²=DC²+AD²-2DC•ADcos∠CDA
=a²+b²-2abcos（180°-θ）=a²+b²+2abcosθ，
所以AC²+BD²=（a²+b²-2abcosθ）+（a²+b²+2abcosθ）
=2（a²+b²）=2（AB²+AD²），
即AC²+BD²=AB²+AD²+DC²+AD²，
故平行四邊形兩條對(duì)角線平方的和等于四條邊平方的和．

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理，誘導(dǎo)公式，以及平行四邊形的性質(zhì)，屬于中檔題．