Question

8．已知函數(shù)f（x）的定義域為R，若對于任意的實數(shù)x，y，都有f（x）+f（y）=f（x+y），且x＞0時，有f（x）＞0
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)f（1）=1，若f（x）＜m²-2am+1對所有x∈[-1，1]，a∈[-2，2]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，分析如下：先證明f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，令x=y=0，可得f（0）=0，
令y=-x，代入可得f（-x）=-f（x），f（x）是定義在R上的奇函數(shù)．設(shè)x₁＜x₂，作差并且證明f（x₂）-f（x₁）＞0即可．
（2）由（1）知f（x）在[-1，1]上為單調(diào)遞增函數(shù)，可得f（x）在[-1，1]上的最大值為f（1）=1，因此要使f（x）＜m²-2am+1對所有x∈[-1，1]，a∈[-2，2]恒成立，只要m²-2am+1＞1，即m²-2am＞0恒成立，利用一次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，證明如下：
先證明f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，令x=y=0，則f（0）=f（0）+f（0）⇒f（0）=0，
令y=-x，則f（x）+f（-x）=f（0）=0，∴f（-x）=-f（x），f（x）是定義在R上的奇函數(shù)．
設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
當(dāng)x＞0時，有f（x）＞0，所以f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在R上為單調(diào)遞增函數(shù)．
（2）由（1）知f（x）在[-1，1]上為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以f（x）在[-1，1]上的最大值為f（1）=1，
所以要使f（x）＜m²-2am+1對所有x∈[-1，1]，a∈[-2，2]恒成立，
只要m²-2am+1＞1，即m²-2am＞0恒成立，
令g（a）=m²-2am=-2am+m²，則$\left\{{\begin{array}{l}{g（-2）＞0}\\{g（2）＞0}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{4m+{m^2}＞0}\\{-4m+{m^2}＞0}\end{array}}\right.$
解得m＞4或m＜-4．
故實數(shù)m的取值范圍是m＞4或m＜-4．

點評 本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、不等式的解法、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．