Question

12．一條光線從點(diǎn)A（0，2）射入，與x軸相交于點(diǎn)B（2，0），經(jīng)x軸反射后過點(diǎn)C（m，1），直線l過點(diǎn)C且分別與x軸和y軸的正半軸交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則當(dāng)△OPQ的面積最小時(shí)直線l的方程為（

• A． x+$\frac{y}{3}$=1
• B． $\frac{x}{6}$+$\frac{y}{2}$=1
• C． $\frac{x}{4}$+$\frac{y}{4}$=1
• D． $\frac{x}{12}$+$\frac{3y}{4}$=1

Answer 1

分析 求出C的坐標(biāo)，利用基本不等式，即可求出當(dāng)△OPQ的面積最小時(shí)直線l的方程．

解答 解：直線AB的斜率為-1，
則反射光線所在的直線方程為y=x-2，代入點(diǎn)C得m=3，即C（3，1）．
設(shè)直線l的方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1（a＞0，b＞0），
則△OPQ的面積S=$\frac{1}{2}$ab，且$\frac{3}{a}$+$\frac{1}$=1≥2$\sqrt{\frac{3}{ab}}$，即有ab≥12，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{3}{a}$=$\frac{1}$，即a=6，b=2等號(hào)成立，
此時(shí)△OPQ的面積S取最小值6，直線l的方程為$\frac{x}{6}$+$\frac{y}{2}$=1．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 考查用截距式求直線方程的方法，基本不等式的應(yīng)用，正確運(yùn)用基本不等式是解題的關(guān)鍵．