【題目】記,其中為函數(shù)的導數(shù)若對于,,則稱函數(shù)為D上的凸函數(shù).
求證:函數(shù)是定義域上的凸函數(shù);
已知函數(shù),為上的凸函數(shù).
求實數(shù)a的取值范圍;
求函數(shù),的最小值.
【答案】(1)見解析;(2);見解析
【解析】
求出函數(shù)的導數(shù),解關(guān)于導函數(shù)的不等式,求出導函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而判斷函數(shù)的凹凸性即可;
求出函數(shù)的導數(shù),問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立,求出a的范圍即可;令,,則,通過討論a的范圍,求出的最小值即可.
由,,
得,,
令,,則,
當時,,當時,,
故在遞減,在遞增,
故,
故對于,,
函數(shù)是定義域上的凸函數(shù);
由,,
得,,
函數(shù)是上的凸函數(shù),
故在上恒成立,
故在上恒成立,
故,故,
故實數(shù)a的范圍是,
令,,
則,
,,,
當時,在上恒成立,
故F,
故H,當且僅當時取等號,
;
當時,在恒成立,
故F在遞增,
故F,
故H;
當時,令,
存在零點,,
其中,,
,,
故,
結(jié)合的性質(zhì)有:時,,故F,
時,,故F,
故F在上遞減,在遞增,
故F,
由知,,
故,從而,
故F,
又的圖象是一條不間斷的曲線,
故F在上有零點,
故H的最小值是0,
綜上,當時,的最小值是,
當時,的最小值是0,
當時,的最小值是.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)高考實行新方案,規(guī)定:語文、數(shù)學和英語是考生的必考科目,考生還須從物理、化學、生物、歷史、地理和政治六個科目中選取三個科目作為選考科目,若一名學生從六個科目中選出了三個科目作為選考科目,則稱該學生的選考方案確定;否則,稱該學生選考方案待確定.例如,學生甲選擇“物理、化學和生物”三個選考科目,則學生甲的選考方案確定,“物理、化學和生物”為其選考方案.
某學校為了了解高一年級420名學生選考科目的意向,隨機選取30名學生進行了一次調(diào)查,統(tǒng)計選考科目人數(shù)如下表:
性別 | 選考方案確定情況 | 物理 | 化學 | 生物 | 歷史 | 地理 | 政治 |
男生 | 選考方案確定的有8人 | 8 | 8 | 4 | 2 | 1 | 1 |
選考方案待確定的有6人 | 4 | 3 | 0 | 1 | 0 | 0 | |
女生 | 選考方案確定的有10人 | 8 | 9 | 6 | 3 | 3 | 1 |
選考方案待確定的有6人 | 5 | 4 | 1 | 0 | 0 | 1 |
(Ⅰ)估計該學校高一年級選考方案確定的學生中選考生物的學生有多少人?
(Ⅱ)假設(shè)男生、女生選擇選考科目是相互獨立的.從選考方案確定的8位男生隨機選出1人,從選考方案確定的10位女生中隨機選出1人,試求該男生和該女生的選考方案中都含有歷史科目的概率;
(Ⅲ)從選考方案確定的8名男生隨機選出2名,設(shè)隨機變量兩名男生選考方案相同時,兩名男生選考方案不同時,求的分布列及數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列為等差數(shù)列,,,數(shù)列的前項和為,若對一切,恒有,則能取到的最大整數(shù)是( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】四棱錐中,已知平面PAD,,,E為棱PC上的一點,經(jīng)過A,B,E三點的平面與棱PD相交于點F.
求證:平面PAD;
求證:;
若平面平面PCD,求證:.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對于項數(shù)為()的有窮正整數(shù)數(shù)列,記(),即為中的最大值,稱數(shù)列為數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”.比如的“創(chuàng)新數(shù)列”為.
(1)若數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”為1,2,3,4,4,寫出所有可能的數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列為數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”,滿足(),求證: ();
(3)設(shè)數(shù)列為數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”,數(shù)列中的項互不相等且所有項的和等于所有項的積,求出所有的數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,四邊形ABCD是直角梯形,,平面ABCD,,.
求SC與平面ASD所成的角余弦值;
求平面SAB和平面SCD所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】每年的金秋十月,越野e族阿拉善英雄會在內(nèi)蒙古自治區(qū)阿拉善盟阿左旗騰格里沙漠舉行,該項目已打造成集沙漠競技運動、汽車文化極致體驗、主題休閑度假為一體的超級汽車文化賽事娛樂綜合體.為了減少對環(huán)境的污染,某環(huán)保部門租用了特制環(huán)保車清潔現(xiàn)場垃圾.通過查閱近5年英雄會參會人數(shù)(萬人)與沙漠中所需環(huán)保車輛數(shù)量(輛),得到如下統(tǒng)計表:
參會人數(shù)(萬人) | 11 | 9 | 8 | 10 | 12 |
所需環(huán)保車輛(輛) | 28 | 23 | 20 | 25 | 29 |
(1)根據(jù)統(tǒng)計表所給5組數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程.
(2)已知租用的環(huán)保車平均每輛的費用(元)與數(shù)量(輛)的關(guān)系為
.主辦方根據(jù)實際參會人數(shù)為所需要投入使用的環(huán)保車,
每輛支付費用6000元,超出實際需要的車輛,主辦方不支付任何費用.預計本次英雄會大約有14萬人參加,根據(jù)(Ⅰ)中求出的線性回歸方程,預測環(huán)保部門在確保清潔任務(wù)完成的前提下,應(yīng)租用多少輛環(huán)保車?獲得的利潤是多少?(注:利潤主辦方支付費用租用車輛的費用).
參考公式:
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點在拋物線: 上,直線: 與拋物線交于, 兩點,且直線, 的斜率之和為-1.
(1)求和的值;
(2)若,設(shè)直線與軸交于點,延長與拋物線交于點,拋物線在點處的切線為,記直線, 與軸圍成的三角形面積為,求的最小值.
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