Question

已知圓A：（x+2）²+y²=

25

4

，圓B：（x-2）²+y²=

1

4

，動圓P與圓A、圓B均外切．
（Ⅰ） 求動圓P的圓心的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過圓心B的直線與曲線C交于M、N兩點，求|MN|的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓P的半徑為r，則|PA|-|PB|=2，從而得到點P的軌跡是以A，B為焦點、實軸長為2的雙曲線的右支，由此能求出動圓P的圓心的軌跡C的方程．
（Ⅱ）設(shè)MN的方程為x=my+2，代入雙曲線方程，得（3m²-1）y²+12my+9=0，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式，結(jié)合已知條件能求出|MN|的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓P的半徑為r，則|PA|=r+

5

2

，|PB|=r+

1

2

，
∴|PA|-|PB|=2，
故點P的軌跡是以A，B為焦點、實軸長為2的雙曲線的右支，
∴動圓P的圓心的軌跡C的方程為x2-

y2

3

=1(x≥1)．
（Ⅱ）設(shè)MN的方程為x=my+2，代入雙曲線方程，
得（3m²-1）y²+12my+9=0，
由

3m2-1≠0 △=144m2-36(3m2-1)＞0 y1y2= 9 3m2-1 ＜0

，
解得-

3

3

＜m＜

3

3

，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則|MN|=

1+m2

|y₁-y₂|=

6(m2+1)

1-3m2

=2(

4

1-3m2

-1)，
當m²=0時，|MN|_min=2（4-1）=6．

點評：本題考查動點的軌跡方程的求法，考查弦的最小值的求法，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、弦長公式的合理運用．