Question

現(xiàn)有一個由36名游客組成的旅游團到上海參觀旅游，其中

3

4

是境外游客，其余是境內(nèi)游客．在境外游客中有

1

3

持旅游金卡，在境內(nèi)游客中有

2

3

持旅游銀卡，其余游客都未持金、銀卡．
（1）在該團中隨機采訪3名游客，求恰有1人持金卡且少于2人持銀卡的概率；
（2）在該團的境內(nèi)游客中隨機采訪3名游客，設采訪到不持銀卡人數(shù)為隨機變量X，求隨機變量X的分布列和均值．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,相互獨立事件的概率乘法公式,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由題意可得：境內(nèi)游客有36×

3

4

人，其中境外游客中有27×

1

3

人持旅游金卡；境內(nèi)游客有9人，在境內(nèi)游客中有9×

2

3

=6持旅游銀卡，有21人未持金、銀卡．設事件A₁表示“該團3人中，有1人持金卡，0人持銀卡”，則P（A₁）=

∁ 1 9 ∁ 2 21

∁ 3 36

．設事件A₂表示“該團3人中，有1人持金卡，1人持銀卡”，則P（A₂）=

∁ 1 9 ∁ 1 6 ∁ 1 21

∁ 3 36

．設事件B為“恰有1人持金卡且少于2人持銀卡”，利用互斥事件的概率計算公式可得P（B）=P（A₁）+P（A₂）．
（2）X的可能取值為0，1，2，3．P（X=0）=

∁ 3 6

∁ 3 9

，P（X=1）=

∁ 1 3 ∁ 2 6

∁ 3 9

，P（X=2）=

∁ 2 3 ∁ 1 6

∁ 3 9

，P（X=3）=

∁ 3 3

∁ 3 9

，再由公式求即可．

解答： 解：（1）由題意可得：境內(nèi)游客有36×

3

4

=27人，其中境外游客中有27×

1

3

=9人持旅游金卡；境內(nèi)游客有9人，在境內(nèi)游客中有9×

2

3

=6持旅游銀卡，有21人未持金、銀卡．
設事件A₁表示“該團3人中，有1人持金卡，0人持銀卡”，則P（A₁）=

∁ 1 9 ∁ 2 21

∁ 3 36

=

9

34

．
設事件A₂表示“該團3人中，有1人持金卡，1人持銀卡”，則P（A₂）=

∁ 1 9 ∁ 1 6 ∁ 1 21

∁ 3 36

=

27

170

．
設事件B為“恰有1人持金卡且少于2人持銀卡”，則P（B）=P（A₁）+P（A₂）=

9

34

+

27

170

=

36

85

．
（2）X的可能取值為0，1，2，3．P（X=0）=

∁ 3 6

∁ 3 9

=

5

21

，P（X=1）=

∁ 1 3 ∁ 2 6

∁ 3 9

=

15

28

，P（X=2）=

∁ 2 3 ∁ 1 6

∁ 3 9

=

3

14

，P（X=3）=

∁ 3 3

∁ 3 9

=

1

84

．
X的分布列為：

X	0	1	2	3
P（X）	5 21	15 28	3 14	1 84

其EX=0×

5

21

+1×

15

28

+2×

3

14

+3×

1

84

=1．

點評：本題考查了古典概型的概率計算公式、互斥事件的概率計算公式、隨機變量的分布列及其數(shù)學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．