Question

要使函數(shù)y=1+2^x+4^x·a在(-∞,1)上y＞0恒成立,求a的取值范圍.

Answer 1

思路分析:把1+2^x+4^x·a＞0在(-∞,1)上恒成立問題,分離參數(shù)后等價轉化為a＞-()^x-()^x在(-∞,1)上恒成立,而-()^x-()^x為增函數(shù),其最大值為-,可得a＞-.

解:由1+2^x+4^x·a＞0在x∈(-∞,1)上恒成立,即a＞-=-()^x-()^x在(-∞,1)上恒成立.

又g(x)=-( )^x-()^x在(-∞,1)上的值域為(-∞,- ),∴a＞-.

評述:(1)分離參數(shù)構造函數(shù)問題是數(shù)學中解決問題的通性通法.

(2)恒成立問題可化歸為研究函數(shù)的最大(或最小)值問題.