Question

6．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，對任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+3f（2），且f（1）=1，則f（2015）+f（2016）的值為（　�。�

• A． -1
• B． 0
• C． 1
• D． 2016

Answer 1

分析 因?yàn)閷θ我鈞∈R，都有f（x+4）=f（x）+3f（2），取x=-2，求出f（2）=0，可得函數(shù)f（x）的周期為4．然后根據(jù)函數(shù)y=f（x）是R上的奇函數(shù)，得到f（0）=0，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵對任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+3f（2），
取x=-2，得f（-2+4）=f（-2）+3f（2）
∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（2）=f（2）+3f（2），
∴f（2）=0，
∴f（x+4）=f（x），
∴函數(shù)f（x）的周期為4，
∵f（1）=1，
∴f（2015）=f（-1）=-f（1）=-1，
∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-0）=-f（0）=f（0），可得f（0）=0
∴f（2016）=f（0）=0
∴f（2015）+f（2016）=-1．
故選：A．

點(diǎn)評 本題給出滿足遞推公式的一個(gè)奇函數(shù)，在已知f（x+4）=f（x）+3f（2），且f（1）=1的情況下求f（2015）、f（2016）的值，著重考查了函數(shù)的奇偶性和抽象函數(shù)及其應(yīng)用，屬于中檔題．