Question

18．設(shè)f（k）是滿足不等式log₂x+log₂（5•2^k-1-x）≥2k（k∈N^*）的自然數(shù)x的個(gè)數(shù)．
（1）求f（k）的函數(shù)解析式；
（2）S_n=f（1）+2f（2）+…+nf（n），求S_n．

Answer 1

分析 （1）由原不等式得log₂（5•2^k-1x-x²）≥2k=log₂2^2k，則x²-5•2^k-1x+2^2k≤0，得到x的取值范圍后，就能求出f（k）的解析式；
（2）由S_n=f（1）+2f（2）+…+nf（n）=3（1+2•2+…+n•2^n-1）+（1+2+…+n），利用錯(cuò)位相減法、等差數(shù)列的求和公式，即可求得結(jié)果．

解答 解：（1）由原不等式得log₂（5•2^k-1x-x²）≥2k=log₂2^2k，
則x²-5•2^k-1x+2^2k≤0，
故2^k-1≤x≤4•2^k-1．
∴f（k）=4•2^k-1-2^k-1+1=3•2^k-1+1（k∈N^*）；
（2）kf（k）=3k•2^k-1+k．
S_n=f（1）+2f（2）+…+nf（n）=3（1+2•2+…+n•2^n-1）+（1+2+…+n），
設(shè)t=1+2•2+…+n•2^n-1（1）
2t=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ（2）
（1）式減（2）式得-t=1+2+…+2^n-1-n•2ⁿ
∴t=（n-1）•2ⁿ+1
∴${s_n}=3（n-1）•{2^n}+\frac{n（n+1）}{2}+3$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及利用對(duì)數(shù)的單調(diào)性求解對(duì)數(shù)不等式，注意對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，和錯(cuò)位相減法、等差數(shù)列的求和公式，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解對(duì)數(shù)不等式，求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵，同時(shí)考查靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力和運(yùn)算能力，屬中檔題．