Question

11．已知首項(xiàng)為$\frac{1}{2}$，公比不等于1的等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₃、S₂、S₄成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=n|a_n|，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）易知2S₂=S₃+S₄，從而可得2a₃+a₄=0，從而可得{a_n}是以$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，-2為公比的等比數(shù)列；從而求得；
（2）化簡b_n=n|a_n|=n•2^n-2，從而利用錯(cuò)位相減法求其和．

解答 解：（1）∵S₃、S₂、S₄成等差數(shù)列，
∴2S₂=S₃+S₄，
∴2a₃+a₄=0，
∴$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=-2，又首項(xiàng)為$\frac{1}{2}$，
故{a_n}是以$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，-2為公比的等比數(shù)列，
故a_n=$\frac{1}{2}$•（-2）^n-1=-（-2）^n-2；
（2）b_n=n|a_n|=n•2^n-2，
T_n=1•$\frac{1}{2}$+2•1+3•2+…+n•2^n-2，
2T_n=1•1+2•2+3•4+…+n•2^n-1，
故T_n=-$\frac{1}{2}$-1-2-4-…-2^n-2+n•2^n-1
=n•2^n-1-$\frac{\frac{1}{2}（1-{2}^{n}）}{1-2}$=（n-1）2^n-1+$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了錯(cuò)位相減法的應(yīng)用及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．