Question

6．已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=CD=1，將梯形ABCD沿對角線AC折疊成三棱錐D-ABC，當(dāng)二面角D-AC-B是直二面角時，三棱錐D-ABC的外接球的表面積為4π．

Answer 1

分析 畫出圖形，確定三棱錐外接球的半徑，然后求解外接球的表面積即可．

解答 解：如圖：AB=2，AD=1，CD=1，
∴AC=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{2}$，
取AC的中點(diǎn)E，AB的中點(diǎn)O，連結(jié)DE，OE，
∵平面DCA⊥平面ACB，DE⊥AC
∴DE⊥平面ACB，
∵DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OD=1，
∴OB=OA=OC=OD，
∴OB=1，就是外接球的半徑為1，
此時三棱錐外接球的表面積為4π•1²=4π．
故答案為：4π．

點(diǎn)評 本題考查折疊問題，三棱錐的外接球的表面積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．