Question

4．若數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，且2a_n+1-a_n=2，
（1）求證：{a_n-2}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若b_n=-n（a_n-2），求證：數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n＜4．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)可得a_n+1-2=$\frac{1}{2}$（a_n-2），從而證明{a_n-2}是以-1為首項(xiàng)，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）知a_n-2=-1•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，從而求通項(xiàng)；
（3）化簡(jiǎn)b_n=-n（a_n-2）=n$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，從而利用錯(cuò)位相減法求其前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）證明：∵2a_n+1-a_n=2，
∴2（a_n+1-2）=a_n-2，
∴a_n+1-2=$\frac{1}{2}$（a_n-2），
而a₁-2=1-2=-1，
∴{a_n-2}是以-1為首項(xiàng)，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）知，
a_n-2=-1•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$；
（3）證明：∵b_n=-n（a_n-2）=n$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴S_n=1•1+2•$\frac{1}{2}$+…+n$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴2S_n=1•2+2•1+…+n$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，
∴S_n=2+1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-n$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
=$\frac{2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
=4-$\frac{4}{{2}^{n}}$-n$\frac{1}{{2}^{n-1}}$＜4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了構(gòu)造法與轉(zhuǎn)化法的應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用．