Question

12．分別求出適合下列條件的直線方程：
（Ⅰ）經(jīng)過點(diǎn)P（-3，2）且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍；
（Ⅱ）經(jīng)過直線2x+7y-4=0與7x-21y-1=0的交點(diǎn)，且和A（-3，1），B（5，7）等距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別討論直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)兩種情況，設(shè)出直線方程，解出即可；（Ⅱ）先求出直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出斜率k即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求直線方程為$\frac{x}{2a}$+$\frac{y}{a}$=1，
將（-3，2）代入所設(shè)方程，解得a=$\frac{1}{2}$，此時(shí)，直線方程為x+2y-1=0．
當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，斜率k=-$\frac{2}{3}$，直線方程為y=-$\frac{2}{3}$x，即2x+3y=0，
綜上可知，所求直線方程為x+2y-1=0或2x+3y=0．…（6分）
（Ⅱ）有$\left\{{\begin{array}{l}{2x+7y-4=0}\\{7x-21y-1=0}\end{array}}\right.$解得交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，$\frac{2}{7}$），
當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí)，設(shè)l的方程是y-$\frac{2}{7}$=k（x-1），即7kx-7y+（2-7k）=0，
由A、B兩點(diǎn)到直線l的距離相等得$\frac{|-21k-7+（2-7k）|}{{\sqrt{49{k^2}+49}}}=\frac{|35k-49+（2-7k）|}{{\sqrt{49{k^2}+49}}}$，
解得k=$\frac{3}{4}$，當(dāng)斜率k不存在時(shí)，即直線平行于y軸，方程為x=1時(shí)也滿足條件．
所以直線l的方程是21x-28y-13=0或x=1．…（12分）

點(diǎn)評 本題考察了求直線方程問題，考察點(diǎn)到直線的距離公式，是一道中檔題．