Question

10．設(shè)點O為四面體ABCD外接球的球心，若|$\overrightarrow{AB}$|=3，|$\overrightarrow{AD}$|=4，則$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BD}$=$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 利用平面向量加減運算的幾何意義得$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}$，將兩式平方相減即可得出答案．

解答 解：設(shè)外接球半徑為r，則OA=OB=OD=r，
∵|$\overrightarrow{AB}$|²=（$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$）²=${\overrightarrow{OB}}^{2}+{\overrightarrow{OA}}^{2}-2\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=2r²-2$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=9，
|$\overrightarrow{AD}$|²=（$\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}$）²=${\overrightarrow{OD}}^{2}+{\overrightarrow{OA}}^{2}-2\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{OA}$=2r²-2$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{OA}$=16．
∴|$\overrightarrow{AD}$|²-|$\overrightarrow{AB}$|²=2$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$-2$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{OA}$=7，
∴2（$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}$）$•\overrightarrow{OA}$=7，即$\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{OA}=\frac{7}{2}$．
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BD}=\frac{7}{2}$．
故答案為：$\frac{7}{2}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量級運算，屬于中檔題．