19．已知a、b、c分別為△ABC三個內(nèi)角A、B、C的對邊，若cosB=$\frac{4}{5}$，a=5，△ABC的面積為12，則$\frac{a+c}{sinA+sinC}$的值等于$\frac{25}{3}$．

分析 求出sinB，代入面積公式S=$\frac{1}{2}acsinB$求出c，利用余弦定理計算b，則$\frac{a+c}{sinA+sinC}$=$\frac{sinB}$．

解答 解：∵△ABC中cosB=$\frac{4}{5}$，a=5，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{3}{5}$，
S△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=12，∴c=8．
∴由余弦定理得b=$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}-2accosB}$=5，
∴$\frac{a+c}{sinA+sinC}$=$\frac{sinB}$=$\frac{25}{3}$．
故答案為：$\frac{25}{3}$．

點評 本題考查了余弦定理，三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題．

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