Question

12．設(shè)等差數(shù)列{a_n}滿足：公差d∈N^*，a_n∈N^*，且{a_n}中任意兩項之和也是該數(shù)列中的一項，若a₁=9．則d的所有可能取值為1，3，9．

Answer 1

分析 設(shè)a_p，a_q為等差數(shù)列{a_n}中的任意兩項，依題意a_k=a_p+a_q，利用等差數(shù)列的通項公式可得d=$\frac{9}{k+1-p-q}$．
由k，p，q均為正整數(shù)，公差d∈N^*，利用9的公約數(shù)即可得出．

解答 解：設(shè)a_p，a_q為等差數(shù)列{a_n}中的任意兩項，依題意a_k=a_p+a_q，
即2a₁+（p+q-2）d=a₁+（k-1）d，
∴d=$\frac{{a}_{1}}{k+1-p-q}$=$\frac{9}{k+1-p-q}$．
∵k，p，q均為正整數(shù)，公差d∈N^*，
∴k+1-p-q=1，3，9，
因此d的所有可能取值為1，3，9．
故答案為：1，3，9．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、整除理論，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．