Question

3．已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）對(duì)于任意的x都滿足f（x+1）=-f（x），且當(dāng)0≤x＜1時(shí)，有f（x）=x，則函數(shù)g（x）=|lgx|-f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 3
• B． 5
• C． 6
• D． 11

Answer 1

分析 由已知可知函數(shù)f（x）為以2為周期的周期函數(shù)，在求出f（x）在（-1，0]上的解析式，畫出函數(shù)g（x）=|lgx|與y=f（x）的圖象，數(shù)形結(jié)合得答案．

解答 解：∵對(duì)于任意的x都滿足f（x+1）=-f（x），
∴f[（x+1）+1]=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x），
∴函數(shù)是周期函數(shù)，周期為2，
設(shè)-1＜x≤0，則0＜x+1≤1，則f（x+1）=x+1，
∴當(dāng)-1＜x≤0時(shí)，有f（x）=-f（x+1）=-（x+1），
函數(shù)g（x）=|lgx|-f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即函數(shù)y=|lgx|與y=f（x）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
作出函數(shù)y=|lgx|與y=f（x）的圖象如圖：
由函數(shù)圖象可知有6個(gè)交點(diǎn)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，關(guān)鍵在于根據(jù)題意，分析出函數(shù)f（x）的解析式，是中檔題．