Question

4．已知函數(shù)f（x）=ax²+|x-2a|，其中a＞0．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）-b在x∈[0，1]上存在零點，求實數(shù)b的取值范圍（用a表示）．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 將f（x）用分段函數(shù)的形式表示，求得對稱軸，對a討論，分當(dāng)0＜a≤$\frac{1}{2}$，當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時，求得單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）b的取值范圍即y=f（x），x∈[0，1]的值域．對a討論，分當(dāng)$\frac{1}{2}$≤a＜1時，當(dāng)a≥1時，當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{3}$時，當(dāng)$\frac{1}{3}$≤a＜$\frac{1}{2}$時，求得f（x）的值域，即可得到所求b的范圍．

解答 解：（Ⅰ） 函數(shù)f（x）=ax²+|x-2a|=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+x-2a，x≥2a}\\{a{x}^{2}-x+2a，x＜2a}\end{array}\right.$，a＞0．
當(dāng)x≥2a時，對稱軸x=-$\frac{1}{2a}$＜2a，f（x）在[2a，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＜2a時，對稱軸$x=\frac{1}{2a}$，又a＞0，$\frac{1}{2a}$≥2a，即有0＜a≤$\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)0＜a≤$\frac{1}{2}$，f（x）在（-∞，2a）單調(diào)遞減；在（2a，+∞）遞增；
當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時，f（x）在（-∞，$\frac{1}{2a}$）單調(diào)遞減，[$\frac{1}{2a}$，2a]單調(diào)遞增．
綜上所述，當(dāng)0＜a≤$\frac{1}{2}$，f（x）的減區(qū)間為（-∞，2a）；增區(qū)間為（2a，+∞）；
當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時，f（x）的減區(qū)間為（-∞，$\frac{1}{2a}$），增區(qū)間為[$\frac{1}{2a}$，+∞）；
（Ⅱ）b的取值范圍即y=f（x），x∈[0，1]的值域．
當(dāng)$a≥\frac{1}{2}$時，f（x）=ax²-x+2a，對稱軸$x=\frac{1}{2a}∈[0，1]$，
∴${f_{min}}（x）=f（\frac{1}{2a}）=2a-\frac{1}{4a}$∴${f_{max}}（x）=max\{f（0），f（1）\}=\left\{\begin{array}{l}2a，\frac{1}{2}≤a＜1\\ 3a-1，a≥1\end{array}\right.$，
所以，當(dāng)$\frac{1}{2}$≤a＜1時，b的取值范圍是[2a-$\frac{1}{4a}$，2a]；
當(dāng)a≥1時，b的取值范圍是[2a-$\frac{1}{4a}$，3a-1]；
當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}-x+2a，0≤x≤2a}\\{a{x}^{2}+x-2a，2a＜x≤1}\end{array}\right.$，
當(dāng)x∈（2a，1]時，對稱軸x=-$\frac{1}{2a}$＜2a，f（x）在（2a，1]單調(diào)遞增，其值域為（4a³，1-a]；
當(dāng)x∈[0，2a]時，對稱軸$x=\frac{1}{2a}≥2a$，f（x）在[0，2a]單調(diào)遞減，其值域為[4a³，2a]；
又max{1-a，2a}=$\left\{\begin{array}{l}{1-a，0＜a≤\frac{1}{3}}\\{2a，\frac{1}{3}＜a＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
所以當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{3}$時，b的取值范圍是[4a³，1-a]；
當(dāng)$\frac{1}{3}$≤a＜$\frac{1}{2}$時，b的取值范圍是[4a³，2a]．
綜上所述，當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{3}$時，b的取值范圍是[4a³，1-a]；
當(dāng)$\frac{1}{3}$≤a＜$\frac{1}{2}$時，b的取值范圍是[4a³，2a]；
當(dāng)$\frac{1}{2}$≤a＜1時，b的取值范圍是[2a-$\frac{1}{4a}$，2a]；
當(dāng)a≥1時，b的取值范圍是[2a-$\frac{1}{4a}$，3a-1]．

點評 本題考查帶絕對值的函數(shù)的單調(diào)性和值域問題的解法，考查函數(shù)零點的求法，注意運用轉(zhuǎn)化思想和分類討論的思想方法，考查化簡整理的運算能力，屬于難題．