Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點(diǎn)D為棱AB的中點(diǎn)，BC=1，AA₁=

3

．
（1）求證：BC₁∥平面A₁DC；
（2）求三棱錐D-A₁B₁C 的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接AC₁，交A₁C于點(diǎn)O，連結(jié)OD，由已知得OD∥BC₁，由此能證明BC₁∥平面A₁DC．
（2）由已知得AB⊥CD，從而CD⊥平面ABB₁A₁，進(jìn)而CD⊥平面DB₁A₁，由此能求出三棱錐D-A₁B₁C 的體積．

解答： （1）證明：連接AC₁，交A₁C于點(diǎn)O，連結(jié)OD，
∵ACC₁A₁是平行四邊形，
∴O為AC₁中點(diǎn)，
∵D為AB的中點(diǎn)，
∴OD∥BC₁，OD=

1

2

BC₁，BC₁?平面A₁CD，OD?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁DC．

（2）解：正△ABC中，
∵D為AB的中點(diǎn)，
∴AB⊥CD，
又∵平面ABC⊥平面ABB₁A₁，
∴CD⊥平面ABB₁A₁，
∴CD⊥平面DB₁A₁，
∵CD=

3

2

，S△A1B1D=

3

2

，
∴VD-A1B1C= C-A1B1D=

1

3

CD•S△A1B1D=

1

3

×

3

2

×

3

2

=

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．