Question

8．曲線y=1+$\sqrt{4-{x^2}}$與直線y=k（x-2）+4有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件是$\frac{5}{12}＜k≤\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 先確定曲線的性質(zhì)，然后結(jié)合圖形確定臨界狀態(tài)，結(jié)合直線與圓相交的性質(zhì)，可解得k的取值范圍．

解答 解：y=1+$\sqrt{4-{x^2}}$可化為x²+（y-1）²=4，y≥1，所以曲線為以（0，1）為圓心，2為半徑的圓y≥1的部分．
直線y=k（x-2）+4過(guò)定點(diǎn)P（2，4），由圖知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)A（-2，1）點(diǎn)時(shí)恰與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與曲線相切時(shí)交點(diǎn)變?yōu)橐粋�(gè)．
且k_AP=$\frac{3}{4}$，由直線與圓相切得d=$\frac{|-1+4-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=$\frac{5}{12}$．
則實(shí)數(shù)k的取值范圍為$\frac{5}{12}＜k≤\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{5}{12}＜k≤\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓相交的性質(zhì)，同時(shí)考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，是個(gè)基礎(chǔ)題．