Question

16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，P，Q為橢圓C上兩點(diǎn)，圓O：x²+y²=r²（r＞0）．
（1）若PF⊥x軸，且滿足直線AP與圓O相切，求圓O的方程；
（2）若圓O的半徑為$\sqrt{3}$，點(diǎn)P，Q滿足k_OP•k_OQ=-$\frac{3}{4}$，求直線PQ被圓O截得弦長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意方程求出P的坐標(biāo)，得到直線PA的方程，由點(diǎn)到直線的距離公式求出圓的半徑，則圓的方程可求；
（2）由已知求得圓的方程，當(dāng)PQ⊥x軸時(shí)，由k_OP•k_OQ=-$\frac{3}{4}$求出OP的斜率，可得P的坐標(biāo)，由對(duì)稱性得到Q的坐標(biāo)，則直線PQ被圓O截得弦長(zhǎng)可求；當(dāng)PQ與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b，由k_OP•k_OQ=-$\frac{3}{4}$，得到P，Q橫坐標(biāo)的和與積的關(guān)系，聯(lián)立直線方程和橢圓方程可得k與b的關(guān)系，再由垂徑定理求得弦長(zhǎng)最大值，綜合兩種情況求得直線PQ被圓O截得弦長(zhǎng)的最大值．

解答 解：（1）∵橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
∴A（-2，0），F(xiàn)（1，0），
∵PF⊥x軸，
∴P（1，$±\frac{3}{2}$），而直線AP與圓O相切，
根據(jù)對(duì)稱性，可取P（1，$\frac{3}{2}$），
則直線AP的方程為y=$\frac{1}{2}（x+2）$，
即x-2y+2=0．
由圓O與直線AP相切，得r=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴圓O的方程為${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{4}{5}$；
（2）由題意知，圓O的方程為x²+y²=3．
①當(dāng)PQ⊥x軸時(shí)，${k}_{OP}•{k}_{OQ}=-{{k}_{OP}}^{2}=-\frac{3}{4}$，
∴${k}_{OP}=±\frac{\sqrt{3}}{2}$，
不妨設(shè)OP：y=$\frac{\sqrt{3}}{2}x$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{2}x}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得P（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
此時(shí)得直線PQ被圓O截得的弦長(zhǎng)為$\frac{\sqrt{570}}{15}$；
②當(dāng)PQ與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（x₁x₂≠0），
首先由${k}_{OP}•{k}_{OQ}=-\frac{3}{4}$，得3x₁x+4y₁y₂=0，
即3x₁x₂+4（kx₁+b）（kx₂+b）=0，
$（3+4{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+4kb（{x}_{1}+{x}_{2}）+4^{2}=0$（*）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去x，得（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0，
將${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8kb}{3+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$代入（*）式，得2b²=4k²+3．
由于圓心O到直線PQ的距離為$d=\frac{|b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴直線PQ被圓O截得的弦長(zhǎng)為$l=2\sqrt{3-dn8h23a^{2}}=\sqrt{4+\frac{2}{{k}^{2}+1}}$，
故當(dāng)k=0時(shí)，l有最大值為$\sqrt{6}$．
綜上，直線PQ被圓O截得的弦長(zhǎng)的最大值為$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線與圓、橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．