Question

7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，點(diǎn)O是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，AB=2，∠BAD=60°，
（Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）當(dāng)三棱錐C-PBD的體積等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$時(shí)，求PA的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明BD⊥平面PAC，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）利用V_C-PBD=V_P-BCD，根據(jù)體積公式，求PA的長(zhǎng)．

解答 （Ⅰ）證明：因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，
所以BD⊥AC．
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以PA⊥BD．又AC∩PA=A，
所以BD⊥平面PAC．-----------------（4分）
又BD?平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC．      …（6分）
（Ⅱ）解：因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，且AB=2，∠BAD=60°，
所以${S_{△BCD}}=\sqrt{3}$．
又V_C-PBD=V_P-BCD，三棱錐P-BCD的高為PA，
所以$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×PA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，解得$PA=\frac{3}{2}$．     …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面、直線與平面垂直的判定，考查三棱錐體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．