Question

1．函數(shù)f（x）=a^x-xlna（0＜a＜1），若對于任意x∈[-1，1]，不等式f（x）≤e-1恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{e}$，1）．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最大值即可，利用構(gòu)造法進行求解．

解答 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=a^xlna-lna=lna•（a^x-1），
∵0＜a＜1，∴l(xiāng)na＜0，
由f′（x）＞0得lna•（a^x-1）＞0，即a^x-1＜0，則x＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得lna•（a^x-1）＜0，即a^x-1＞0，則x＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
即當x=0時，函數(shù)取得最小值，f（0）=1，
當x=1，則f（1）=a-lna
當x=-1，則f（-1）=a^-1+lna，
則f（1）-f（-1）=a-$\frac{1}{a}$-2lna，
設(shè)g（a）=a-$\frac{1}{a}$-2lna，
則g′（a）=1+$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{a}$=（$\frac{1}{a}$-1）²＞0，
則g（a）在（0，1）上為增函數(shù)，
則g（a）＜g（1）=1-1-2ln1=0，
即g（a）＜0，
則f（1）-f（-1）＜0，
即f（1）＜f（-1），
即函數(shù)f（x）在x∈[-1，1]上的最大值為f（-1）=a^-1+lna，
若對于任意x∈[-1，1]，不等式f（x）≤e-1恒成立，
則f（-1）=a^-1+lna≤e-1，
即$\frac{1}{a}$+lna≤e-1，
設(shè)h（a）=$\frac{1}{a}$+lna，
則h′（a）=-$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{a}$=-（$\frac{1}{a}$$-\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
∵0＜a＜1，∴$\frac{1}{a}$＞1，
∴當h′（a）＜h′（1）=0，
即h（a）=$\frac{1}{a}$+lna在0＜a＜1上為減函數(shù)，
由$\frac{1}{a}$+lna=e-1得a=$\frac{1}{e}$．
則$\frac{1}{a}$+lna≤e-1等價為h（a）≤h（$\frac{1}{e}$），
即$\frac{1}{e}$≤a＜1，
故答案為：[$\frac{1}{e}$，1）．

點評 本題主要考查函數(shù)恒成立問題，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．本題的難點在于多次構(gòu)造函數(shù)，多次進行進行求導(dǎo)，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化和構(gòu)造能力和意識．