Question

1．設數(shù)列{a_n}的各項均為正整數(shù)，其前n項和為S_n，我們稱滿足條件“對任意的m，n∈N^*，均有（n-m）S_n+m=（n+m）（S_n-S_m）”的數(shù)列{a_n}為“L數(shù)列”．現(xiàn)已知數(shù)列{a_n}為“L數(shù)列”，且a₂₀₁₆=3000，則a_n=984+n或3000．

Answer 1

分析 對任意的m，n∈N^*，均有（n-m）S_n+m=（n+m）（S_n-S_m），令m=1，則（n-1）S_n+1=（n+1）（S_n-a₁）．化為na_n+1=S_n+1+S_n-（n+1）a₁，n≥2時，（n-1）a_n=S_n+S_n-1-na₁，化為（n-1）a_n+1-na_n=-a₁，利用遞推關系可得：a_n+1+a_n-1=2a_n．因此數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．由a₂₀₁₆=3000=a₁+2015d，即3000-a₁=2015d，由于數(shù)列{a_n}的各項均為正整數(shù)，可得d=0或1．即可得出．

解答 解：∵對任意的m，n∈N^*，均有（n-m）S_n+m=（n+m）（S_n-S_m），
令m=1，則（n-1）S_n+1=（n+1）（S_n-a₁）．化為na_n+1=S_n+1+S_n-（n+1）a₁，
n≥2時，（n-1）a_n=S_n+S_n-1-na₁，
∴na_n+1-（n-1）a_n=a_n+1+a_n-a₁，
∴（n-1）a_n+1-na_n=-a₁，
（n-2）a_n-（n-1）a_n-1=-a₁，
∴（n-1）（a_n+1+a_n-1）=2（n-1）a_n，
∴a_n+1+a_n-1=2a_n．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
∵a₂₀₁₆=3000=a₁+2015d，即3000-a₁=2015d，
∵數(shù)列{a_n}的各項均為正整數(shù)，∴d=0或1．
若d=0，則a_n=a₂₀₁₆=2016．
若d=1，則a₁=885，∴a_n=985+（n-1）=984+n．
故答案為：984+n或3000．

點評 本題考查了遞推關系、等差數(shù)列的通項公式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．