Question

8．過橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1右焦點作一條斜率為$\frac{1}{2}$的直線與橢圓交于A、B兩點，O為坐標原點，求△OAB的面積．

Answer 1

分析 由題意可得：直線AB的方程為：y=$\frac{1}{2}$（x-1），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與橢圓方程聯(lián)立化為：4x²-2x-11=0，
可得$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{（{x_1}+{x_2}{）^2}-4{x_1}{x_2}}$，求出O到直線AB：x-2y-1=0的距離d，即可得出△OAB的面積．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1，∴橢圓的右焦點為F₂（1，0）．
∴直線AB的方程為：y=$\frac{1}{2}$（x-1），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得4x²-2x-11=0，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=\frac{1}{2}}\\{{x_1}{x_2}=-\frac{11}{4}}\end{array}}\right.$，
∴$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{（{x_1}+{x_2}{）^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}•\sqrt{\frac{1}{4}+11}=\frac{15}{4}$，
O到直線AB：x-2y-1=0的距離$d=\frac{1}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
∴${S_{△OAB}}=\frac{1}{2}×\frac{15}{4}×\frac{{\sqrt{5}}}{5}=\frac{{3\sqrt{5}}}{8}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．