Question

14．在△ABC中，若sin（A+B-C）+sin（B-A-C）=0，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 利用三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式，和差化積公式化簡已知等式可得-2cosAsin（C-B）=0，從而可得cosA=0，或sin（C-B）=0，結(jié)合范圍A∈（0，π），C-B∈（-π，π），從而解得A=$\frac{π}{2}$，或C=B，即可得解．

解答 解：∵sin（A+B-C）+sin（B-A-C）=0，A+B+C=π，
∴sin（π-2C）+sin（2B-π）=0，
∴sin2C-sin2B=0，可得：2cos（C+B）sin（C-B）=0，
∴-2cosAsin（C-B）=0，
∴cosA=0，或sin（C-B）=0，
∵A∈（0，π），C-B∈（-π，π），
∴解得：A=$\frac{π}{2}$，或C=B，
∴△ABC為直角三角形或等腰三角形．

點評 此題考查了三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式，和差化積公式的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)圖象和性質(zhì)，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．